14.MEDIDA DE LOS ANGULOS

MEDIDA DE LOS ANGULOS

Para hallar la medida de los ángulos centrales A y b se fija como primer ángulos el semieje Positivo de las obsesas Si el sentido de giro es contrario al de las agujas del reloj las medidas de los ángulos es un numero positivo si el sentido es el mismo de las manecillas es en número negativo. El grado sexagesimal es la medida de cada uno de sus ángulos que suman al dividir sus ángulos rectos en 90 partes iguales para expresar el ángulo de la suma de un numero entero y un ángulo menor se divide de modo que el cociente es el numero de vueltas y el residuo es el ángulo buscado como el ángulo de una sir conferencia abarca todo lo que abarca.

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13. FUNCION CUADRATICA

FUNCION CUADRATICA

En matemáticas, una función cuadrática de una variable es una función polinómica definida por:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

con ${\displaystyle a\neq 0}$.¹ También se da el caso que se le llame Trinomio cuadratico ² . También se denomina función cuadrática a funciones definidas por polinomios cuadráticos de más de una variable, por ejemplo:

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F}$

En este caso el conjunto de puntos que resultan al igualar el polinomio a cero representan lugares geométricos que siempre es posible reducir a una de las formas:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\pm \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=c^{2},\qquad \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\pm {\frac {y}{b}}=c}$

Que corresponden a tres tipos de sección (elipse, hipérbola y parábola).

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12.SISTEMA DE INECUACION DE PRIMER GRADO

SISTEMA DE INECUACION DE PRIMER GRADO 

Si sumamos (o restamos) la misma cantidad en los dos miembros de una desigualdad, la desigualdad no varía. En el caso de una inecuación obtenemos una inecuación equivalente. Igual ocurre con el producto si multiplicamos (o dividimos) los dos miembros de una desigualdad por la misma cantidad positiva: la desigualdad no varía. Sin embargo, si multiplicamos (o dividimos) los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad negativa, la desigualdad cambia de sentido. Así pues, cuando manipulemos inecuaciones y multipliquemos o dividamos ambos miembros por la misma cantidad obtendremos inecuaciones equivalentes, pero tendremos cuidado cuando lo hagamos con una cantidad negativa pues en ese caso la inecuación equivalente a la anterior tendrá cambiado el sentido de la desigualdad. Mejor lo vemos con un ejemplo.

Resolvamos la siguiente inecuación de primer grado:

2(x+1)3

−

3(2x−1)2

+x≤4−

3x+16

$$\frac{2(x+1)}{3}-\frac{3(2x-1)}{2}+x\le 4-\frac{3x+1}{6}$$

Se procede exactamente igual que en una ecuación de primer grado (eliminamos paréntesis y denominadores, trasponemos términos y reducimos términos semejantes). En este caso multiplicamos todos los términos (los dos miembros de la desigualdad) por 

6

$6$, que es el mínimo común múltiplo de los denominadores y luego procedemos a ir simplificando hasta obtener una desigualdad completamente reducida.Veámoslo:

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11. RESOLUCIÓN DE SISTEMA POR EL MÉTODO GRAFICO

RESOLUCIÓN DE SISTEMA POR EL MÉTODO GRAFICO

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado

1. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
2. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
   1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
   2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
   3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

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10. REGLAS DE CRAMER

REGLAS DE CRAMER

Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

${\displaystyle a{\color {blue}x}+b{\color {blue}y}={\color {red}e}\,}$

${\displaystyle c{\color {blue}x}+d{\color {blue}y}={\color {red}f}\,}$

Se representa matricialmente :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}}$

Entonces, ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {red}e}d-b{\color {red}f}}{ad-bc}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {a{\color {red}f}-{\color {red}e}c}{ad-bc}}}$

Ejemplo[editar]

Ejemplo de la resolución de un sistema de 2x2:

Dado

${\displaystyle 3x+1y=9\,}$

${\displaystyle 2x+3y=13\,}$

que matricialmente es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9\\13\end{bmatrix}}}$

x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}9&1\\13&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9\cdot 3-1\cdot 13 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=2}$

${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}3&9\\2&13\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3\cdot 13-9\cdot 2 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=3}$

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9.METODO DE GAUSS

MÉTODO DE GAUSS

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:

donde:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad b={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.}$

El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración ${\displaystyle (k+1)\,}$:

${\displaystyle x^{(k+1)}=Mx^{(k)}+c.\,}$

donde

${\displaystyle A=N-P\,}$

definimos

${\displaystyle M=N^{-1}P\,}$

y

${\displaystyle c=N^{-1}b\,}$,

donde los coeficientes de la matriz N se definen como ${\displaystyle n_{ij}=a_{ij}\,}$ si ${\displaystyle i{\leq }j}$, ${\displaystyle n_{ij}=0\,}$ si ${\displaystyle i>j\,}$.

Considerando el sistema ${\displaystyle Ax=b,\,}$ con la condición de que ${\displaystyle a_{ii}{\neq }0,i=1,...,n\,}$. Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {-\sum _{1{\leq }j{\leq }i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{i+1{\leq }j{\leq }n}a_{ij}x_{j}^{(k)}+b_{i}}{a_{ii}}},i=1,...,n\,}$(*)

La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.

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8.Reduccion

REDUCCIÓN

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Te propongo aprender hoy el tercero de los métodos de resolución de un sistema de ecuaciones, esto es el método de reducción.  Si quieres repasar o practicar los que vimos anteriormente, aquí mismo te dejo vínculo al primero de los métodos algebraicos que vimos, el  método de igualación y al segundo, esto es, el método de sustitución

Este nuevo método para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas, recibe el nombre de método de reducción, porque precisamente eso trataremos de hacer con las incógnitas comunes en ambas ecuaciones.

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