10. REGLAS DE CRAMER

REGLAS DE CRAMER

Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

${\displaystyle a{\color {blue}x}+b{\color {blue}y}={\color {red}e}\,}$

${\displaystyle c{\color {blue}x}+d{\color {blue}y}={\color {red}f}\,}$

Se representa matricialmente :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}}$

Entonces, ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {red}e}d-b{\color {red}f}}{ad-bc}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {a{\color {red}f}-{\color {red}e}c}{ad-bc}}}$

Ejemplo[editar]

Ejemplo de la resolución de un sistema de 2x2:

Dado

${\displaystyle 3x+1y=9\,}$

${\displaystyle 2x+3y=13\,}$

que matricialmente es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9\\13\end{bmatrix}}}$

x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}9&1\\13&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9\cdot 3-1\cdot 13 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=2}$

${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}3&9\\2&13\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3\cdot 13-9\cdot 2 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=3}$