9.METODO DE GAUSS

MÉTODO DE GAUSS

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:

donde:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad b={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.}$

El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración ${\displaystyle (k+1)\,}$:

${\displaystyle x^{(k+1)}=Mx^{(k)}+c.\,}$

donde

${\displaystyle A=N-P\,}$

definimos

${\displaystyle M=N^{-1}P\,}$

y

${\displaystyle c=N^{-1}b\,}$,

donde los coeficientes de la matriz N se definen como ${\displaystyle n_{ij}=a_{ij}\,}$ si ${\displaystyle i{\leq }j}$, ${\displaystyle n_{ij}=0\,}$ si ${\displaystyle i>j\,}$.

Considerando el sistema ${\displaystyle Ax=b,\,}$ con la condición de que ${\displaystyle a_{ii}{\neq }0,i=1,...,n\,}$. Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {-\sum _{1{\leq }j{\leq }i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{i+1{\leq }j{\leq }n}a_{ij}x_{j}^{(k)}+b_{i}}{a_{ii}}},i=1,...,n\,}$(*)

La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.